群相关

群定义

先简单介绍一些群相关概念：

简单记录群的定义

简单来说，拥有这三条性质的集合和二元运算称之为群。或者反过来说，一个群拥有这些性质。而这些性质奠定了很多其他特性。研究群，也可以说研究这些性质之下所表征出的其他特征。

群同构

其实简单来看同构，就是把原本$G_1$的所有东西一对一的变换到$G_2$上，且保持前后的运算没有任何变化。这也很符合同构这个概念语义，相同结构。元素相同，运算所形成的结构也相同。

问题思考

书中有很多有意思的问题，这里只记录几个我感兴趣的问题。

初看这个问题，其实有一个很直观的反应，考虑群$G$所形成的运算表，假设其元素个数为$n$。除去单位元所在行列共$n-1$行构成的方阵，由于单位元$e$必须出现在不同行不同列上。所以如果$n-1$为奇数，可知其一定会出现在对角线上，对于这个元素就是我们要求的$a$。但这个证明虽直观，但不够数学，也没抓住本质的感觉。

从另一个方面来考虑。实际上，群的元素和其逆，是一对一对的。简单来说假设$a,a'$互为逆元，同时$a$存在逆元$a''$。则有$a*a'=e=a*a''$得出$a'=a''$。这个消去律也是建立在左乘逆元基础上。简单来说，可以讲一个元素和其逆元绑成一对。所以对于偶数个数的群来说，出去单位元$e$剩下$2n-1$个元素。如果每个元素的逆，都不是它自己。那么这样组成对子个数一定是偶数，矛盾，所以存在元素的逆是他自己，即$a*a=e$。

这个证明更正式，但是考虑上面运算表的证明。似乎异曲同工，但是又不太一样的地方。对于共同点来说，就是$e$不可能在同一行上出现两次这个情况。

或者说最重要的一点：

• $a,a'$成对化出现

先简单说思路。对于$a*b=g$来说，其表示也是成对出现的。也就是说不可能出现两个不同的$b,b'$。其有$a*b=g=a*b'$，这会推出$b=b'$，矛盾。同时，对于任意的$a\in{}G$，必然存在一个b使得$a*b=g$，可以$b=a'*g$来得到。

所以，就是说，对于$G$中所有的元素，其都会落入这样一个二元组$(a,b)$中。现在考虑$A$，必有一个这样的二元组落在$A$中。反证法，如果没有这样的二元组，则相当于$A$在每个组中选择$\leq{}1$个元素。这样因为二元组的个数对半分割$G$，所以$A$的元素个数$\le{}n/2$，矛盾。所以对于任意给定的$g\in{}G$，存在$a,b\in{}A$，使得$a*b=g$。

这里又看到一个神奇的地方

• 对于$a*b=g$的表示，$a,b$也是成对出现。

回顾来看。群的结构，就是保证了，对任意元素，都有成对唯一的表示存在。

交换群例子

方便后面理解，先记录交换群例子的符号

• $\lang{}\mathbb{Z}_n,+_n\rang$交换群 $\mathbb{Z}_n=\{0,1,2,\cdots,n-1\}$。即前$n-1$个正整数与$0$构成。而运算即定义在整数加法运算上的模$n$运算。如果限制在$\mathbb{Z}_n$上也可以简单定义为： $$a+_nb=\begin{cases} a+b &\text{if } a+b<{}n\\ a+b-n&\text{if } a+b\ge{}n \end{cases}$$

• $\lang{}\mathbb{R}_c,+_c\rang$交换群 在$\lang{}\mathbb{Z}_n,+_n\rang$基础上，去除整数限制，将其扩展到实数范围上可以定义实数交换群结构。

• $\lang{}U,\cdot{}\rang$交换群 $U=\{z\in\mathbb{c}||\mathbb{Z}|=1\}$即由所有模为$1$的复数构成。也即复数平面的单位圆构成。而运算$\cdot$即通常定义下的复数乘法。对于这种情况下$U$中的元素$z$可以表示为$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$。$z_1\cdot{}z_2=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$。

其中$\lang{}U,\cdot{}\rang$交换群实际上就是单位元上的复数操作群。可以由如下图来表示。圆上的点$P$即群中的元素$e^{i\theta}$。

单位根 考虑集合$U_n=\{z\in\mathbb{c}||\mathbb{Z}^n|=1\}$的元素。这些元素称之为$n$次单位根。显然有$U_n\subset{}U$。此外可以由复数表示得知其元素即$|e^{in\theta}|=1$的根。即如下的元素：

$$e^{m\frac{2\pi}{n}i}=cos(m\frac{2\pi}{n})+isin(m\frac{2\pi}{n}）,m=0,1,2,\cdots,n-1$$

可以发现这些根可以被整数$m$标记，可以表示为$\zeta^{m}=e^{m\frac{2\pi}{n}i}$。且有如下运算方式：

$$\zeta^m\zeta^l=\zeta^{m+l}$$

可以把$m,l$看成$\mathbb{Z}_n$的元素，并重新标记。可以得到$\lang{}U_n,\cdot\rang$同构于$\lang{}\mathbb{Z}_n,+_n\rang$。

问题思考

这个命题是对的。粗略的说明，对于$z\in\mathbb{Z}_n=\{0,1,2,\cdots,n-1\}$。所以$x+x$在模n情况下$\mathbb{Z}_n$中的数字最多出现两次。更精确的说。如果$n$为偶数，则$\mathbb{Z}_n$中的每个偶数都会出现两次。如果$n$为奇数，则每个数字都只出现一次。

而更精确的证明应该需要初等数论的同余定理说明。实际上，即求解$kx\equiv{}a(mod\enspace{}n)$这个同余方程有几个解。根据一元一次同余方程解的定理，将$k,n$的最大公约表示为$gcd(k,n)=g$，这个式子有解的充分必要条件是$a$可以被$k,n$的最大公约数$gcd(k,n)=g$整除。且其解的个数为$g$个。

简单说明一下，$kx\equiv{}a(mod\enspace{}n)$即表明$kx=a+yn,y\in\mathbb{Z}$，根据最大公约数，这个式子表明$a$可以被$k,n$的最大公约数整除。设$k'=k/g,n'=n/g,a'=a/g$。则原方程与$k'x\equiv{}a'(mod\enspace{}n')$有相同的解，但是所有参数除去了最大公约数。而且$gcd(k',n')=1$即$k',n'$互素，这说明有且仅有一个$k'^{-1}\in\mathbb{Z}_{n'}$使得$k'k'^{-1}\equiv{}1$。所以可以求得$k'x\equiv{}a'(mod\enspace{}n')$的一个解，$x_0=k'^{-1}a'$满足同余方程。又注意到$k'x\equiv{}a'(mod\enspace{}n')\Harr\frac{k}{g}x\equiv{}\frac{a}{g}(mod\enspace{}\frac{n}{g})$。这说明$x_0+m\frac{n}{g}(mod\enspace{}n)$也为其解。解的个数就是$gcd(k,n)$个。

这是从初等数论上过来的证明和结论。但是初等数论的定义，应该是群论的一个实例。值得思考是否存在更本质的方式来说明这个问题呢？

非交换群的例子

主要是置换群以及二面体群。

置换 先定义置换群，所谓置换，可以简单认为对集合$A={1,2,3,\cdots,n}$中数字的一次重排，即将里面每个元素唯一的映射到$A$中的元素上面。不能重复或者缺失。即一个在$A$上既单又满的映射。

对于一个$A$上的置换$\sigma$可以通过如下方式简单明了的表示：

$$ \sigma= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$

即将上面的数字映射到下面的数字上$1\rightarrow{}4,2\rightarrow{}2,3\rightarrow{}5,\cdots$等等。

对于置换来说，还有一种不同于上面的表述方式。可以从上面表示看到，对于每个数字都恰好出现了两次，且一次在上面，一次在下面。也就是说，每个在下面的数字，在上面也有唯一一个对应，所以可以通过循环链路的方式表示其置换执行的方式。例如上面的$\sigma$也是按照如下的方式置换。

$$(1\rightarrow{}4\rightarrow{}3\rightarrow{}5\rightarrow{}1),(2\rightarrow{}2)$$

这种表示称之为不相交循环表示。简单可以表示为：

$$\sigma=(1,4,3,5)(2)$$

这种表示方式，即承担了原来置换所表示的功能。同时也提供了很多方便的特性，例如：

• 可以显然的看出2-循环的置换。这种就是简单的换位，可以称之为对换。
• 这种表示对于求逆来说非常方便。根据表示定义，只需要逆转置换顺序即可，例如$\sigma^{-1}=(5,3,4,1)$。
• 对于求取符合运算来说，也同样简便，取定一个数字后，从右往左的进行置换计算，并追加在尾部即可。

二面体群

二面体群，最简单直接易懂的理解，即建立在平面正多面体上的操作的一种群。即对平面正多面体进行操作后，图像任然不变的操作所构成的群。最显然的两种操作就是，旋转和对称。例如下图：

这种操作可以认为是对顶点标记的一种重排。即将图中顶点$v_i,v_j$映射到$v_{i'},v_{j'}$上面，而且保持之前的边关系不变。即原来如果$v_i,v_j$之间有一条边，那么$v_{i'},v_{j'}$之间也是一条边。

记二维的正多面体为$P_n$。对于二维正多面体，实际上都可以通过单位元上的点来描述，即$U_n$描述了$P_n$。其中每个顶点恰好可以被$U_n$中的元素表示，也可以可以被一个数字$i$来表示。

说明$D_n$是一个群，只要看群的三个定义即可。其中

• 单位是显然的，即自己到自己的映射标记为$\iota$。
• 逆也是显然的，因为映射即单又满，所以存在逆映射$\phi^{-1}$。
• 最重要的是，结合律和封闭的特性。结合律，可以有映射复合来提供。而封闭则因为是对于映射上进行了特性的约束。所以要验证符合映射后的边依然保持。而这个是保持的。所以其是一个群

对于之前看到的不变操作，旋转和对称，显然是满足要求的操作。所以属于$D_n$中的元素，可以被其描述。

对于旋转来说，即对正$n$边形旋转$2\pi/n$角度。可以认为其是将每一个顶点映射到下一个，即：

$$\rho(k)=k+1$$

对于对称来说，我们只需要考虑沿着$x$轴的对称即可。对于其他轴的对称，实际都可以通过转动到$x$轴处后再堆成来实现。而对于沿着$x$轴的对称，显然将每个点映射为对面的点，即：

$$\mu(k)=-k=n-k$$

简略证明：

• 首先证明$D_n$最多可以有$2n$个元素。

因为对于一个映射，考虑一条边的两个顶点$i,i+1$。假设$\phi$，将$i$映射到点$j$，那么$i+1$只能映射到该点相邻的两个点上，保持边重合一致，即$i+1$只能映射到$j+1$或者$j-1$上。所以这样一共可能的映射选择最多为$2n$个。

• 再证明上面集合中元素没有两个相同的。

划分成两部分说明。 对于$\rho,\cdots,\rho^{n-1}$元素来说。如果有相同元素，即$\rho^k=\rho^r$这导致$k=r$。所以这一部分没有相同元素。 对于$\mu,\mu\rho,\cdots,\mu\rho^{n-1}$元素来说。同理，如果有相同元素$\mu\rho^k=\mu\rho^r$。因$\mu$逆元就是其本身，加上群的特性，可以得出$k=r$。 关键是$\rho^k=\mu\rho^r$的情况。这个情况通过观察顶点的顺序可以的出，对于旋转操作，其不会修改顶点的旋转方向，但是对称操作，会让转动方向变动。所以按照固定转动防线，排列顶点，可以发现$\rho^k，\mu\rho^r$的顶点顺序不一致，不可能相同。

问题思考

其实这是一个构造性的问题。实际上透过前面的例子和问题已经可以显然看出了。

• 首先对于两个群$G,G'$来说，如果$G$是交换的，$G'$不是交换的，则$G,G'$不是同构的。

根据同构定义，如果$G,G'$同构，则存在一个映射$f$，对于所有$a,b\in{}G,f(a*b)=f(a)*'f(b)$。由于G是交换的即对任意$a*b=b*a$，所以这会导致$f(a)*'f(b)=f(b)*'f(a)$。由于$f$既单又满，这会导致$G'$也是交换的。矛盾，所以不可能同构。

• 而通过上面的例子，可以显然看到对于$2n$个元素的交换群，非交换群，都有显然的例子。

$2n$个元素的交换群即简单的$\lang{}\mathbb{Z}_{2n},+_n\rang$群。而非交换群则有$D_n$群，其有$2_n$个元素。