群结构

群结构，在我看来是抽象代数的精华之一。它揭示了，我在有这些定义结构之下时，会产什么什么样的特性。这些特性是基本的简单的。基于简单几条规则，就可以产生深远的性质。可以认为这些性质的本质，就是由群这种特性所产生的。

群同态

对于一个同态来说，其会保持群上元素间的一些关系。这就是同态的重要特点。在同态之下，一些元素的地位是一致的。

根据上述同态的特性，可以直接的发现$\phi^{-1}[\{e'\}]$必定是群$G$的一个子集，因为$\{e'\}$是群$G'$的平凡子群。所以存在如下定义。

这个核的概念，其实很常见。线性代数里面也有。线性变换中，给定某个变换，被映射到原点的那些点集成为这个线性变换的核。实际上跟这里是一致的。线性变化除了，特征向量，行列式，分解等应用特性之外，实际上也是抽象代数的一种实例。

另一个就是，核的概念就像一个黑洞。被映射进去的东西就再也出不来了。在例如线性变换中，一旦变成了原点。那么不论后续变换如何，它都再也不会收到影响了。而这也是群论特性的一种表现性质吧。

除此之外还有一些额外定理，定义。这里不再赘述。在这里只是简单记录表述，方便后面查阅：

这个定理结论来自于对群计算表的观察。实际上可以把群$G$中的每一个元素$g$。当作对原来群中元素的一次置换。通过这样的方式可以构建一个映射$\phi$。将每一个元素$g$匹配到一个对群中元素的置换操作上面。来实现同构。

此外还有关于置换群上的一些概念和结构：

也比较直观，就是两个元素变换位置。前面已知，对于置换来说有一种循环表示法。而任意一个循环可以通过如下方式进行拆分：

$$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(a_1,a_n)(a_1,a_{n-1})\cdots(a_1,a_3)(a_1,a_2)$$

思路实际上就是通过一个元素来做中介。通过$a_1$来对换其他元素。

这说明只要有两个元素的有限集上的任何置换都是对换的乘积。

而这个证明则需要通过轨道(orbit)的概念来证明，设$\sigma\in{}S_A$和$a\in{}A$。称集合$\{\sigma^k(a)|k\in\mathbb{Z}\}$称为$a$的轨道(orbit)。

大致思路就是通过添加一个对换操作后，对原先轨道改动的分析来说明。添加一个对换操作后，轨道的长度会+1，这就会导致奇偶性的变化。

定义置换符号映射(sign of a permutation)：

置换符号映射

$$ sgn(\sigma)= \begin{cases} 1&\sigma\enspace{}is\enspace{}even\\ -1& \sigma\enspace{}is\enspace{}odd\\ \end{cases} $$

这是一个从置换群到$\{1,-1\}$的同态。

问题思考

还是记录一些感兴趣的问题。

这两个问题，我觉得是类似的。实际上说明第一个同时似乎也可以说明第二个问题。

先说第一个问题：

从左到右：如果$\phi$是单射，因为$\phi(e)=e'$，所以$a\ne{}e$则必然有$\phi(a)\ne\phi(e)=e'$。所以$Ker(\phi)$只有一个元素，为平凡子群。

从右到左：$Ker(\phi)$为平凡子群，证明$\phi$是单射。假设若存在$a\ne{}b$但$\phi(a)=\phi(b)$。则看$\phi(a^{-1}b)=\phi(a^{-1})\phi(b)=\phi(a)^{-1}\phi(b)=e'$。这说明$a^{-1}b$在$Ker(\phi)$中。但是$Ker(\phi)$是平凡子群，矛盾。进而说明不同元素不可能映射到相同元素上面。$\phi$是单射

而从右到左部分似乎也是下面问题的一部分。

这个问题我想了一下，我觉得可以这样来证明。

因为$b,c$是任意的。我们取$b',e'\in{}G'$这两个元素。即一个非单位元和一个单位元。可以说明这两个逆象是一样大的，进而说明问题。

设$B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}=\phi^{-1}[\{b'\}]$为$b'$的逆象，$C=\{c_1=e,c_2,\cdots,c_m\}=\phi^{-1}[\{e'\}]$为$e'$的逆象。

给定一个$b_i\in{}B$考察$b_i^{-1}b_j,b_j\in{}B$。可知$b_i^{-1}b_j\in{}Ker(\phi)$即$\phi(b_i^{-1}b_j)=e'$。这说明$b_i^{-1}b_j$为$C$中元素，且对于每个$b_j$映射到不同的$c_k$上面。这说明$|B|\le|C|$。

再看$b_ic_j$。因为$\phi(c_j)=e'$，所以$\phi(b_ic_j)=b'$，这说明$b_ic_j\in{}B$。且每个$c_j$映射到不同的$b_k$上面。这说明$|C|\le|B|$。

由此可得$|B|=|C|$。而命题的后半部分则很好说明了。实际上对于$\phi$象中每个元素的逆象大小都一样。所以假设$|\phi(G)|=t$则必然有$|G|=tn$。其中$n$为每个元素逆象的大小。这说明$G'$的大小一定为$G$的大小的因子。所以如果$|G|$是素数$q$，那么要么$|\phi(G)|=q$，要么$|\phi(G)|=1$。

不过我觉得这个结论跟后面用到的陪集分解，拉格朗日定理有几分相似。是否可以这样构造一个自同态来说明问题呢？

从后面的学习来看，这是同态基本定理的必然结果。同态基本定理，说明了对于每个同态$\phi$来说，其核为一个正规子群，设为$H$，映射到$G'$的一个元素上面，而$\phi[G]$中的每个元素来说，其逆映射都是$H$的每个陪集。而配集大小都是一样的。

这个问题我觉得可以这样说明。假设$H$全都是偶置换，那么这是命题中结论的一部分。如果并非全部是偶置换，则存在一个奇置换，设为$\sigma$。

设$H$中元素个数为$n$，设偶置换个数为$a$，奇置换个数为$b$。则$a+b=n$。考察如下操作生成的集合$\sigma{}h,h\in{}H$。根据之前可知$\{\sigma{}h|h\in{}H\}=H$。但是元素的奇偶性对换，即有$a=b$。进而得出$a=b=n/2$。

这个主要是置换群上的生成以及循环结构的理解。提示是考察$(1,2,\cdots,n)^r(1,2)(1,2,\cdots,n)^{n-r}$生成对换。

考察$(1,2,\cdots,n)^r$的效果，首先对于$(1,2,\cdots,n)^n$来说，其等于$e$即单位变化。对于数字$i$来说，其会被置换为$(i+r)mod\>{}n$。然后考虑$(1,2)$对换的作用。如果$(i+r)mod\>{}n$不为1或者2。那么对换不起作用，这一部分相当于直接略去兑换作用。所以这些数字最后都会被置换为自身，即$i\to{}(i+r)mod\>{}n\to{}i$。

考虑被置换为1或者2的数字。即$(i+n-r)mod\>{}n=1\>or\>2$，得出$i=r+1\>or\>r+2$。经过$(1,2)$对换作用，可得出$r+1\to{}2,r+2\to{}1$。然后经过后续变换可得出$r+1\to{}r+2,r+2\to{}r+1$。

也就是说上面循环相当于如下对换

$$(1,2,\cdots,n)^r(1,2)(1,2,\cdots,n)^{n-r}\to{}(r+1,r+2)$$

现在说明，任何对换都可以表示成$(1,2),(2,3),(3,4),\cdots,(n,1)$这$n$个对换。对于任何对换$(i,j)$来说，可以表示为如下结构。

$$(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\cdots(j-1,j)(j-2,j-1)\cdots(i,i+1)$$

考虑这个等式，可以验证，对于$i$来说，从左至右，主要作用对换的右半部分，依次变化会变换成$j$。对于$j$来说，从左至右，主要作用对换的左半部分，会变成$i$。

对于其他元素$i+1,i+2,\cdots{},j-1$来说，例如$i+r$。从左只有，第一次出现为右半部分中的$(i+r-1,i+r)$。变换成$i+r-1$之后直到左半部分的$(i+r-1,i+r)$才再次出现，这次对换，会变换会$i+r$导致这些元素未发生置换。简单来说，这是一个对称的山峰样式。只导致了$i,j$对换。

直积有限生成交换群

这一部分主要目的是讨论，根据已有的群来构建其他群的结构。这是一种自底向上的思路。

而最直接的方式就是，笛卡尔积(Cartesian product)的构建方式。即假设有集合$B_1,B_2,\cdots,B_n$，把新的元素表示为$n$元组$(b_1,b_2,\cdots,b_n)$的形式，其中每个位置元素$b_i$取自对应的集合$B_i$。这个集合记为$B_1\times{}B_2\times\cdots{}B_n$或者$\prod_{i=1}^nB_i$。

可以说明，基于群概念构建的笛卡尔积依旧是一个群。

验证这个运算下为满足群的相关定义部分即可。

概述一下，要说明$\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$是循环的，只要找到一个生成元，可以生成$\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$。显然的是这个元素就是$(1,1)$。而这个元素的阶就是$m,n$的最小公倍数$lcm(m,n)$。如果$lcm(m,n)=mn$。这说明该元素的阶可以生成整个群。即$\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$是循环的。

而所有循环群都跟$\mathbb{Z}$上的某个循环群同构，即与$\mathbb{Z}_{mn}$同构。

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随后论述了，有限生成交换群的结构。教材中，也只是以定理的方式呈现。简述来说，就是这些有限生成交换群，都会跟一些循环群的直积同构。

这个结构，在前面已经可见一二。我的直观理解，所有这种通过有限个元素分成的交换群，在某些情况下都有着相同的结构。前面可以明确看到，单一元素生成的循环群结构，或者与$\mathbb{Z}$同构或者与$\mathbb{Z}_n$。这部分相当于循环群结构的一个增强结构。

书中有对360阶的举例。我这里考虑，例如对于4来说。显然就有两种分解方式，一个是$\mathbb{Z}_4$，一个是$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$。恰好对应了4阶群中的两个群结构。

问题思考

这一章主要都是一些计算实例问题。

求元素阶与每个群中对应元素的阶的最小公倍数相关。

1. $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{12}$中的$(2,6)$。

$2$在$\mathbb{Z}_4$中的阶为$4/gcd(2,4)=2$，$6$在$\mathbb{Z}_{12}$的阶为$12/gcd(6,12)=2$。所以$(2,6)$的阶为最小公倍数$lmc(2,2)=2$。

显然直接计算操作也有$(2,6)\to{}(0,0)$。

2. $\mathbb{Z}_{45}\times\mathbb{Z}_{18}$中的$(40,12)$。

$40$在$\mathbb{Z}_{45}$中的阶为$45/gcd(40,45)=9$，$12$在$\mathbb{Z}_{18}$的阶为$18/gcd(18,12)=3$。所以$(40,12)$的阶为最小公倍数$lmc(9,3)=9$。

这里我认为是同构的。前面可以看到$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$与$\mathbb{Z}_4$这种并不同构。

但是定理4说明了这种同构的条件。这里说明，这两个群都与$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4$同构。细节说，$\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4$与$\mathbb{Z}_{12}$同构。$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3$与$\mathbb{Z}_6$同构。

这里还可以进一步说明24阶有限生成交换群的结构。初等因子版本同构意义下有如下三个直积结构：

• $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3$
• $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_3$
• $\mathbb{Z}_8\times\mathbb{Z}_3$

虽然并不包含上面两个群结构，但是可以同构意义的群看到是包含在这三个之中的。

不变因子版本，参照书中例子有

• $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_6$
• $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{12}$
• $\mathbb{Z}_{24}$

一共是这三个群，与上面结构一一对应。

根据初等因子版本结构，有限交换群结构同构意义下等同于

$$\mathbb{Z}_{p_1^{r_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{r_2}}\times\cdots\mathbb{Z}_{p_n^{r_n}}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\cdots\times\mathbb{Z}$$

因为有限交换群的阶是素数$p$的幂，那么说明：

$$p^r=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots{}p_n^{r_n}$$

这说明同构意义下等于$\mathbb{Z}_{p^r}=\mathbb{Z}_{p^{r_1}}\times\mathbb{Z}_{p^{r_2}}\times\cdots\mathbb{Z}_{p^{r_n}}$的分解版本。所以直积中每一部分元素的阶为$p$的幂。所以元素的阶为$p$的幂。

另一方面，根据不变因子版本。也可以说明，对于每一个$d_i$都必须是$p$的幂，进而说明元素的阶也需为$p$的幂。