商群

伴随着陪集概念的出现，可以发现，某些情况下，特定子群的陪集集合巧妙的构成了一个群结构。这即诞生了商群。前面可以看到，构成的陪集是一个集合，所以要定义一个基于陪集的群，就要定义一个基于集合上的运算。且这个运算是成立且良好的。所以先定义基于子群$H$上的**诱导的(induced)**左陪集运算。

当$G$是交换群的时候，可以发现对于上述运算是一定成立的任意$ah_1\in{}aH,bh_2\in{}bH$，必然有$(ah_1)(bh_2)=abh_1h_2\in{}(ab)H$。但是可以适当削弱条件。不要求一定有$bh_2=h_2b$只要求针对子群$H$中的元素有$bh_2=h_2'b$即可。而这相当于子群$H$的左右陪集相等。因此可以定义一个正规子群概念。

在此简单描述一下证明，刚好后面习题也有涉及。先从左往右，即$(aH)(bH)=(ab)H$给出了一个良好定义的二元运算，需要证明$aH=Ha$。采用证明集合相等的标准操作。

先说明属于$aH$的也属于$Ha$。 即说明对于任意$x\in{}aH$，$x\in{}Ha$。因为$(aH)(bH)=(ab)H$是良好的，取$a^{-1}H$，显然有$xa^{-1}\in{}(aH)(a^{-1}H)=(aa^{-1})H=H$。这说明存在一个$h\in{}H$，有$xa^{-1}=h$即$x=ha\in{}Ha$。

再说明属于$Ha$的也属于$aH$。(也是课后习题之一) 考虑$x\in{}Ha$，则显然有$xa^{-1}=h\in{}H$。现在考虑公式$(xa^{-1}H)(aH)$。因为$(aH)(bH)=(ab)H$是良好的所以有$(xa^{-1}H)(aH)=xH$。又因为$xa^{-1}=h\in{}H$，$(xa^{-1}H)=H$进而得出$(xa^{-1}H)(aH)=(H)(aH)=aH$。这说明$xH=aH$。即有$x\in{}aH$。

结合上面两个可以说明$aH=Ha$。

然后说明如果$H$是正规子群，那么左陪集乘法是良好的。根据假设，可以省略左右直接说陪集。

选择$a\in{}aH,b\in{}bH$。计算得到陪集$(ab)H$。要说明任意$aH,bH$中元素的乘积，都在陪集$(ab)H$中。选择$ah_1\in{}aH,bh_2\in{}bH$，说明$ah_1bh_2$在$(ab)H$之中。因为$h_1b\in{}Hb=bH$，这说明存在一个$h_3\in{}H$，有$h_1b=bh_3$。进而有

$$(ah_1)(bh_2)=a(h_1b)h_2=a(bh_3)h_2=(ab)h_3h_2\in{}(ab)H$$

因此$ah_1bh_2$在$(ab)H$中。

同态与商群

对于一个同态$\phi:G\to{}G'$来说，前面可以知道其核$Ker(\phi)$的左右陪集相等，也就是说其核为$G$的正规子群。反过来，对于$G$的所有正规子群，是否都可以这样产生？这里的答案是肯定的，也就是说，对于每一个$G$的正规子群，都存在着针对某个群$G'$上的群同态$\phi:G\to{}G'$，使得$H$为其核。

可以简单的说明$\gamma$是一个群同态。而这个同态的核就是$H$。另一方面是我的理解。也就是针对$G$的目标正规子群，$\gamma$实际上将$G$中元素$x$映射到对应的陪集$xH$上。前面可知对于正规子群$H$有合法的运算，切构成商群$G/H$。

定理8.5同态的基本特性给出$\phi[G]$是$G'$的子群。定理10.17说明对于一个具有核为$H$的同态$\phi$来说，其左右陪集是相等的，进而说明$H$是正规子群，$G/H$上有良好的定义，即$G/H\to{}\phi[G]$是良好定义的。所以要说明的是$\mu$是一个群同构。只要说明$\mu$是个同态，且既单又满即可。

因为$\mu(gH)=\phi(g)$，有$\mu((aH)(bH))=\mu((ab)H)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\mu(aH)\mu(bH)$。所以$\mu$是个同态，而满射是比较显然的，因为$\phi$显然是$G$到$\phi[G]$上的满射，所以$\mu$也是到$\phi[G]$上的射。现在要说明是单射，这可以通过同态核为平凡子群来说明。因为$\mu(gH)=\phi(g)$。所以$Ker(\mu)=Ker(\phi)$，即说明$\mu$的核为$\{gH|\phi(g)=e'\}$的那些元素。根据$\phi$的定义，$\phi(a)=e'$当且仅当$a\in{}Ker(\phi)=H$。这说明$\mu$的核即为$\{H\}$而这是平凡子群。所以$\mu$是单的。进而可以说明$\mu$是一个同构。

我的理解，而定理12.14说明了存在一个从商群$G/H$到同态$\phi$值域上的同构。这说明，一方面商群的运算与某些群同构，另一方面同时也给出了这个目标同构群的方向，就是同态$\phi$给出的目标群。而定理12.12构造这个定理的时候是虽然映射到了商群上面来说明，但是也说明针对正规子群$H$存在着这样的同态结构。

问题思考

先说明共轭是等价关系，即证明$H\sim_{i_g}K$满足，自反传递对称。

自反： 首先对于$H$自身来说，显然存在$i_e$，有$i_e[H]=eHe=H$。

传递： 如果有$i_{g_1}[H]=K,i_{g_2}[K]=L$。则说明对任意$h\in{}H$有$g_1hg_1^{-1}=k\in{}K$和任意$k\in{}K$有$g_2kg_2^{-1}=l\in{}L$。这两个公式说明，对于任意$h\in{}H$有$g_2g_1hg_1^{-1}g_2^{-1}=g_2kg_2^{-1}=l\in{}L$。这说明$i_{g_2g_1}[H]\subseteq{}L$。另一方面，由同构的满射性质，可以知道对于$L$中任意元素，由$K$中唯一元素确定。可以得到$i_{g_2g_1}[H]=L$。所以传递性成立。

对称： 如果有$i_{g}[H]=K$，则说明对任意$h\in{}H$有$ghg^{-1}=k\in{}K$。即$h=g^{-1}kg$。由同构性质可得对于任意$k\in{}K$，逆映射$i_{g^{-1}}(k)=g^{-1}kg$给出$H$中唯一一个元素。这说明$i_{g^{-1}}[K]=H$。所以对成性成立。

可见$H\sim_{i_g}K$是一个等价关系。

很显然，针对正规子群$H$来说，就是要求针对任意$i_g$都有$i_g[H]=H$。也就是说，正规子群所在的等价类只有一个元素，即他自己。

考虑$D_3$的所有与$H=\{i,\,\mu\}$共轭的子群。

显然对于$H$中元素的$i_h[H]=H$。所以考虑$\{\rho,\rho^2,\mu\rho,\mu\rho^2\}$。发现针对单位元来说任意$i_g(e)=e$。也就说考虑$i_g(\mu)$的作用即可，发现$i_{\rho^2}(\mu)=\rho^2\mu\rho=\mu\rho^2$。也就是说$H$与$\{i,\mu\rho^2\}$共轭。

实际上也可以从子群角度入手，因为共轭子群的元素个数一定相同。而$D_3$的二阶子群只有两个包含2阶元的群。

先说明子群的交任然是子群，再说明其上满足正规的要求。

假设$G$有两个子群$H_1$和$H_2$。设$K=H_1\cap{}H_2$。那么说明封闭，单位，和逆元存在。显然单位$e\in{}H_1$和$e\in{}H_2$，所以$e\in{}K$。然后说明运算封闭。若$k_1,k_2\in{}K$。则说明$k_1,k_2$同时存在于$H_1,H_2$。根据群$G$的运算，以及子群的封闭运算$k_1k_2$也存在于$H_1,H_2$中。所以$k_1k_2\in{}K$。即$K$运算封闭。针对元素$k\in{}K$。显然逆元$k^{-1}$也需要存在于$H_1,H_2$中。所以其逆元也存在于$K$中。所以子群的交，任然是一个子群。

现在来看正规子群特性。因为$H_1,H_2$都是正规子群。所以对于$k\in{}K=H_1\cap{}H_2$来说。因为$k\in{}H$。所以对于任意$g\in{}G$有$gkg^{-1}\in{}H_1$，同理对于$H_2也成立$。也就是说对于一个同时属于$H_1,H_2$中的元素$k$，对于任意$g\in{}G$，$gkg^{-1}$同时属于$H_1,H_2$。所以$gkg^{-1}\in{}K$。这说明$K$正规子群。

这里我考虑的就是前面说的共轭，或者即内自同构$i_g$。因为对于给定阶的子群$H$只有一个。因为内自同构$i_g$保持子群元素个数不变，因为不存在其他子群，这说明对于任意$i_g$，都必须有$i_g[H]=H$。这说明$H$是正规子群。

这里就比较有意思了，并没有说明这个$\phi_*$是什么结构，所以要根据情况来大致推理猜测。这个显然是商群上的结构，也就是将$G/H$映射到$G'/H'$上去。也就是针对每一个$gH$去定义$g'H'$。一开始我的想法是同态基本定理中的结构。不过其实最直接的想法，就是将对应元素直接映射过去。即

$$\phi_*(gH)=\phi(g)H'$$

首先因为$H,H'$都是正规子群，所以$gH,g'H'$上的运算都是良好的。现在说明这个$\phi_*$是一个同态。显然$\phi_*((g_1H)(g_2H))=\phi_*((g_1g_2)H)=\phi(g_1g_2)H'=\phi(g_1)\phi(g_2)H'=(\phi(g_1)H')(\phi(g_2)H')=\phi_*(g_1H)\phi_*(g_2H)$。这说明$\phi_*$满足同态性质。这里值得说明的是，第一个等号，以及最后一个等号，使用了正规子群的运算。第二个等号用了$\phi_*$定义。第三个则是$\phi$的同态特性。

现在其实还差一步，就是说明这个定义是良好的。对于$g\in{}H$来说。$gH=H$。也就是说这个时候$\phi_*(gH)=\phi_*(H)=\phi(g)H'$。由于$\phi[H]\subseteq{}H'$。所以此时$\phi(g)H'=H'$。也就是$\phi_*(H)=H'$。