整环
费马定理和欧拉定理
本章主要是费马定理和欧拉定理。初等数论中也有相关定理。这里是抽象代数角度思考的结构。有空再补一下初等代数的结构。
定理 24.1 费马小定理
如果$a\in \mathbb{Z}$且$p$不是整除$a$的素数，则$p$整除$a^{p-1}-1$，即对于$a\not \equiv 0(mod\space p)$，有$a^{p-1}\equiv1(mod\space p)$
考虑环$\mathbb{Z}_p$，前面可以知道有限整环都是域，所以这是一个域。因此$\lang\mathbb{Z}*,\cdot\rang$是有$p-1$个元素的群。根据群的定理，任何元素$b$的阶数整除群阶$p-1$。所以必然有$b^{p-1}=1\in\mathbb{Z}_p$。
而费马小定理是$\mathbb{Z}$上的元素，环$\mathbb{Z}_p$和$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$同构。其中元素$b$对应于陪集$b+p\mathbb{Z}$，对于不是$p$的任何倍数的$a$，必然存在某个$0\leq b\leq p-1$有$a+b\mathbb{Z}=b+p\mathbb{Z}$因此。
$$(a+p\mathbb{Z})^{p-1}=(b+p\mathbb{Z})^{p-1}=1+p\mathbb{Z}\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$换句话说$a^{p-1}\equiv 1(mod\space p)$。
推论
如果$a\in\mathbb{Z}$，则对于任何素数$p$有$a^p\equiv a(mod\space p)$。
欧拉的推广
关注到$\mathbb{Z}_n$中元素的分类情况。对于一个属于$\mathbb{Z}_n$中的元素$k$。有以下三种情况：
- $k$是$0$。
- $gcd(n,k)=1$时，$k$为一个单位。
- $gcd(n,k)\ne 1$时，$k$为一个零因子。
因此$\mathbb{Z}_n$中与$n$互素的非零元集合构成一个乘法群。而费马小定理作用在这个互素组成的乘法群上也是成立的。
设$n$为正整数。$\varphi(n)$定义为小于或等于$n$的与$n$互素的正整数个数。注意$\phi(1)=1$则有如下欧拉定理：
定理 24.7 欧拉定理
如果$a$是一个与$n$互素的整数，则$a^{\varphi(n)}-1$可被$n$整除，即$a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod\space n)$。
将上述定理，以及前面抽象代数的一些结论应用于同余方程可得到一些线性同余方程的结论。实际上跟数论中求解线性同余方程的结构是一致的。这可以算是一种解释。在我看来可以认为就是
定理 24.10
设$m$为正整数，且$a\in\mathbb{Z}_m$与$m$互素，对于每个$b\in \mathbb{Z}_m$，方程$ax=b$在$\mathbb{Z}_m$中有唯一解。
这个实际上是域的结果之一，因为$\mathbb{Z}_m$是域。所以每个非零元素都有乘法逆，直接乘逆解方程即可。
定理 24.11
设$m$为正整数，且$a,b\in\mathbb{Z}_m$。设$d$为$a$和$m$的最大公因子。方程$ax=b$在$\mathbb{Z}_m$中有解，当且仅当$d$整除$b$。当$d$整除$b$时，方程在$\mathbb{Z}_m$中恰好有$d$个解。