整环的商域

这里教材的表述有点复杂。是从扩充后的域来说明的。在我看来，这章主要是想说明。对于任意一个整环结构来说，有一种方式可以把他扩展成一个域，这个扩展过程类似于从$\mathbb{Z}$变成$\mathbb{Q}$的方式。这种方式扩展成的域，称之为商域。

虽然这章并未在主线学习流程中。但是后面也多次用到。因为对于多项式来说，也是个整环，实际上我们也经常用到多项式除法的表示形式。

先来看从$\mathbb{Z}$到$\mathbb{Q}$的构造过程来看看这个构造方式。这个方式在我看来，就有种感觉，分数是被扩充逆元构造出来的感觉。对于$\mathbb{Z}$来说，我们构造如下集合

$$F=\{\frac{a}{b}|a,b\in\mathbb{Z},b\ne 0\}$$

于是这个$F$是一个域，我们可以看到这个域就是有理数域$\mathbb{Q}$。

这个过程，我觉得就是乘法逆元的补充。当然要严格的来看这个过程有如下步骤。

设$D$是一个整环，希望将其扩充成一个商域$F$，采用以下步骤：

• 构造$F$的元素。
• 定义$F$上的二元运算加法和乘法。
• 检查所有域的公理，证明$F$是这些运算下的域。
• 证明$F$可以视为包含$D$作为整子环。

第一步

第一步是构造笛卡尔积，用有序对的方式来代表上面商的形式。即

$$D\times D = \{(a,b)|a,b\in D\}$$

对比分数形式的商$\frac{a}{b}$，$b$不能为$0$。所以这里还要削减一点。这部分我觉得实际上跟后面构建每个元素的乘法逆关联。实际上这一步相当于给定一个元素$b$我们添加一个元素$(a,b)$为其乘法逆。但是$0$是个特例，所以要移除去。构成如下集合：

$$S=\{(a,b)|a,b,\in D,b\ne 0\}$$

这是一个等价关系，所以对整个$S$进行了划分。可以看出这就是分数的约分结构。表示两个分数是一样的。后面用$[(a,b)]$表示$S$中$(a,b)$在等价关系$\sim$下的等价类。现在可以定义前面想要的扩充后的商域$F$。定义$F$为所有等价类$[(a,b)]$的集合。

第二步

也是最关键的一部，抽象出商域的运算结构。明确构建出这个商域的二元运算。

现在要说明这个运算是良好的。

首先如果$[(a,b)]$和$[(c,d)]$在$F$中，则$(a,b)$和$(c,d)$在$S$中，因此$b,d\ne{}0$所以$(ad+bc,bd)$和$(ac,bd)$都在$S$中。

然后因为定义是在等价类上面，要说明对于等价类中选取任何元素计算的元素也都在相同的等价类中。即对于任意的$(a_1,b_1)\in [(a,b)]$和$(c_1,d_1)\in [(c,d)]$两个元素的加法以及乘法运算任然在目标等价类中。

对于加法运算有$(a_1,b_1)+(c_1,d_1)=(a_1d_1+b_1c_1,b_1d_1)\in[(ad+bc,bd)]$。 对于乘法运算有$(a_1,b_1)(c_1,d_1)=(a_1c_1,b_1d_1)\in[(ac,bd)]$。

这个可以有定义的等价关系慢慢推出来。

第三步

就是慢慢验证上面的运算满足域的各种定理。

第四步

证明$F$可以视为包含$D$。这个可以通过构造一个显然的从$D$到$F$的子环的同构来说明。实际上前面各种步骤对这个同构说明的比较清楚了。

构造映射$i:D\to F$。由$i(a)=[(a,1)]$给出。现在说明这是一个同构。显然$i$满足同态条件：

对于加法有

$$i(a)+i(b)=[(a,1)]+[(b,1)]=[(a1+1b,1)]=[(a+b),1]=i(a+b)$$

对于乘法有

$$i(a)i(b)=[(a,1)][(b,1)]=[(ab),1]=i(ab)$$

然后说明$i$是单的，对于任意$a,b\in{}D$如果$i(a)=i(b)$则$[(a,1)]=[(b,1)]$由等价关系给出$a=b$。所以$i$是$D$到$D'$的一个同构。$D'$即有所有形如$[(a,1)]$的元素构成。显然这是一个子环。

也就是说存在这样一个同构，在保持整环$D$中的元素不动的情况下，将商域的元素，映射到$L$中不在$D$上的那部分元素上去。这个步骤如下图：

保持$D$不变。也就是说，包含整环$D$的域中，这个商域$F$是最小的一个。

这个推论就很有意思，这说明。正如字面意思，这说明包含这个$D$的域都至少有一个子域与$D$的商域$F$同构。这个构造出的商域恰恰是这个包含$D$的最小的域。

这个证明书上讲的不是很清晰，我按照我的理解记录一下。假设整环$D$的商域为$F$，包含$D$的域为$L$。其中因为$F$为商域，记其中的元素为$a/_Fb$，表示$D$中两个元素的商，具体形式如前面所述的笛卡尔有序对的等价类$[(a,b)]$。记$L$中的元素表示为$a/_Lb$，为$L$中元素的商。这个表示实际代表$a$与$b$的乘法逆相乘。因为$L$为域，所以这个是有意义的。

现在我们定义$\psi:F\to L$的同态如下：

从定义$a\in D$开始，先定义$\psi(a)=a,a\in D$。即$D$中元素，都还是保持。然后定义在$F$中的商。为$\psi(a/_Fb)=\psi(a)/_L\psi(b)$。即有序对$[(a,b)]$映射到$a$与$b$在$L$中乘法逆的乘积。

现在来看这部分合理性，因为商域中$a/_Fb$中$b$不可以为$0$。所以$b\ne 0$所以$\psi(b)\ne 0$。所以$\psi(b)$乘法逆存在，可以表示为$\psi(a)/_L\psi(b)$的形式。

其次看相同元素是否映射到相同元素，对于$a/_Fb=c/_Fd$来说。由商域构造有$ad=bc$在整环$D$中。由于$\psi$保持$D$中所有元素。所以有$\psi(ad)=\psi(a)\psi(d)=\psi(c)\psi(b)=\psi(cb)$所以左右互相乘以逆元即得$\psi(a)/_L\psi(b)=\psi(c)/_L\psi(d)$。所以这个定义是良好的。

现在验证环同态定义部分即可。即$\psi(xy)=\psi(x)\psi(y)$和$\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$这部分略过。即可证明同态成立。

最后说明$\psi$是单射，如果$\psi(a/_Fb)=\psi(c/_Fd)$则有$\psi(a)/_L\psi(b)=\psi(c)/_L\psi(d)$。所以$\psi(a)\psi(d)=\psi(c)\psi(b)$由于$\psi$在$D上是恒等映射，所以有$ad=bc$这说明$a/_Fb=c/_Fd$即$\psi$是单的。

这样显然$\psi$是$F$到$\psi[F]\le L$上的同构，即包含$D$的任意域都有一个子域域$F$同构。

关于这个推论实际上是推论 26.9的直接结果。假设$D$有两个商域$F_1$和$F_2$。则两者相互包含，所以两者同构。