多项式环

本章终于要进入环域理论中的核心对象，多项式部分。因为多项式是代数中的核心定位，人们对于求解多项式零点，代数几何结构，都有着无尽的探求。理解多项式，就有如对未知量的追求。

本章节以及下一章节都会主要关注多项式的各种特性。实事上，这部分的很多结论，都是后面抽象结构，环域下定理的实例。但是鉴于多项式所以还是要专门强调一下什么多项式上的结构。

这部分首要一点不再将$x$当成一个变量来看待，而是当成一个不定元。他像一个元素一样，参与多项式的构成。教材也不会再写$x=1$这样的表达式，表示未知变量$x$实际是1这种含义。对于这种变量赋值，带入多项式的操作，后面都是通过求值同态来表述的。我觉得这种表述主要是为了强调我们想要研究的抽象概念，同态映射与多项式上的关联。事实上是，这种求值同态，确实在后面的理论中起到了关键作用。提供了一种不一样的视角去看待这些多项式。

这个定义有一个细节点。即"且除有限个$i$之外，都有$a_i=0$"。因为定义为了无限和的形式。所以自然的可能不存在最大的次数。这个约定，使得每一个给定的多项式都有一个最大次数，即最大次数有限。如果没有这个最大次数后面一些结论感觉有一定问题。

为方便表示约定从形式和的部分省区$0x^i$的部分，以及如果$R$存在单位元则将$1x^k$表示为$x^k$。 接着可以定义多项式环上的加法以及乘法。标记$f(x),g(x)$如下：

$$ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots \\ g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_nx^n+\cdots $$

对于加法有：

$$f(x)+g(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n+\cdots,c_n=a_n+b_n$$

对于乘法有：

$$f(x)g(x)=d_0+d_1x+\cdots+d_nx^n+\cdots,d_n=\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}$$

这些也符合通常学到的多项式乘法加法结构。

显然$\lang R[x],+\rang$显然是个交换群。所以主要要验证乘法的结合律和分配律。验证过程略去，其实就是针对给定$f(x),g(x),h(x)$验证有$f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)$。而其中乘法中每个次数前的系数遵循上面的乘法公式。最后可以得到$x^s$前的系数表示为$\sum_{i+j+k=s}a_ib_jc_k$而显然加法是可以交换的所以乘法结合律成立。进而多项式运算构成一个环。

对于多个不定元来说，可以相应的定义多元多项式环。例如有不定元$x,y$可以定义多项式环$(R[x])[y]$，可以说明的是$(R[x])[y]$自然同构于$(R[y])[x]$所以可以标记这种多项式为$R[x,y]$。对于$n$元多项式来说可以表示为$R[x_1,x_2,\cdots,x_n]$。

值得说明的是。如果$D$是整环，则$D[x]$也是整环。如果$F$是域，则$F[x]$是一个整环，而不是域。可以直接在这里说明一下这部分。

$D$是整环，即$D$是有单位元，无零因子的交换环。显然对于单位元和交换部分$D[x]$都自然满足。所以主要说明$D[x]$也无零因子。对于任何$f(x),g(x)\in R[x]$假设其为零因子，即$f(x)g(x)=\sum_{i=0}d_ix^i=0,d_n=\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}$这要求$d_0=a_0b_0=0$但是$D$为整环无零因子，不可能有这样的值。所以$f(x),g(x)$不可能为零因子。

如果$F$是域，显然$F$是整环，所以$F[x]$至少是一个整环。显然$x\in F[x]$不是$F[x]$中的单位，不存在乘法逆。所以$F$不是一个更大的结构域。

既然$F[x]$是一个整环，所以可以构造对应的商域。这个构造过程跟15节部分一样。最后会构成出经典的除法的多项式结构$f(x)/g(x),g(x)\ne 0$。同样将$F(x_1,x_2,\cdots,x_n)$定义为$f[x_1,x_2,\cdots,x_n]$的商域。域$F(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是$F$上的$n$元有理函数域。

求值同态

这里定义求值同态。实际上就是将对应的不定元替换成目标扩域中的元素，在对应进行域上进行运算。这似乎把问题复杂化了，但是说明这是一个同态后，很多同态结构的特性悠然而生。例如对应群论中同态核是正规子群的关系就出现了。

证明过程就是说明$\phi_\alpha$是一个环同态，即满足$\phi_\alpha(f(x)+g(x))=\phi_\alpha(f(x))+\phi_\alpha(g(x))$以及$\phi_\alpha(f(x)g(x))=\phi_\alpha(f(x))\phi_\alpha(g(x))$。针对每个次数不定元的系数进行拆解即可得。

这里需要备注一点。上面的证明过程，对于仅有单位元和交换的环也是有效的。说明满足环同态的过程中，实际上只用了交换环的特性。单位元则是针对$\phi_\alpha(x)=\alpha$部分来说明的。

这个重新定义，似乎就是饶了一大圈。对于之前习惯求解多项式来说，我们都会说，使得$f(x)=0$的$x$的值就是$f(x)$的零点，这会导致如$x=\alpha$这样的等式。基于求值同态，上面定义，重述了零点的定义，并且将它更加抽象化，最终依靠到同态映射的结构上面。重述一下，称这个$\alpha$为零点，是对应的求值同态$\phi_\alpha$使得多项式$f(x)$映射到了$0$上面。

此外还需要注意域之间的关系。多项式是$F$上的多项式$F[x]$。但是求值同态，以及零点的定义。都是放到了一个比$F$更大的域$E\ge F$上面去求值。

问题思考

显然$D$为整环，$D[x]$也为整环。若$f(x)，g(x)$在$F[x]$中为单位。即$f(x)g(x)=\sum_{i=0}d_ix^i=1,d_n=\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}$。显然这个要求有$d_0=1$对于$i\ne 0$有$d_i=0$。即有$a_0b_0=1$。这说明$a_0,b_0$是$D$中的单位。同时要求所有大于$0$次的不定元系数都为0。根据定义多项式一定有对应的最大次数，假设$f(x),g(x)$的最高次幂分别为$n,m$。那么显然$f(x)g(x)$最高次幂系数为$a_nb_m=0$。而这是不可能的，因为$D$为整环。所以可得$D[x]$中的单位，只有$D$中的单位。

所以$\mathbb{Z}[x]$中的的单位只有$1$和$-1$。$\mathbb{Z}_7[x]$中的单位则为整个$\mathbb{Z}_7^*$。

简略证明：

是环即验证符合环的定义。

$\lang R^R,+\rang$为一个交换群。

显然这个运算的单位为$\phi_0(r)=0$，其中$0$为$R$的零元。即把所有元素映射到零元的映射。对于这个映射有$\psi(r)+\phi_0(r)=\psi(r)+0=\psi(r)$。所以这个为$R^R$的加法单位。

然后说明加法运算存在逆运算。对于给定的一个$\psi(r)$。对于每一个元素$r$，建立映射$\phi_{-\psi}(r)=-\psi(r)$。即每个元素都映射到$\psi(r)$的加法逆上面。因为$R$是环。所以这个逆元素一定存在。所以$\phi_{-\psi}(r)$存在。即每一个元素都有加法逆。

最后结合律和交换律是显然成立的，这个依托于环$R$上的加法交换群特性。对于$\phi_1,\phi_2,\phi_3$来说，给定一个元素$r$最后复合映射$(\phi_1+\phi_2+\phi_3)(r)=\phi_1(r)+\phi_2(r)+\phi_3(r)$是映射到$R$上的加法运算。所以一定成立。

对于乘法部分，则需要说明满足结合律即可。这个跟加法一样，依托于环$R$上的乘法结合律。对于$\phi_1,\phi_2,\phi_3$来说，给定一个元素$r$最后复合映射$(\phi_1(\phi_2\phi_3))(r)=\phi_1(r)(\phi_2(r)\phi_3(r))=(\phi_1(r)\phi_2(r))\phi_3(r)=((\phi_1\phi_2)\phi_3)(r)$。所以乘法结合律成立。

最后说明一下左分配律。对于$\phi_1,\phi_2,\phi_3$来说，$(\phi_1(\phi_2+\phi_3))(r)=\phi_1(r)((\phi_2+\phi_3)(r))=\phi_1(r)(\phi_2(r)+\phi_3(r))$。后面这个部分可以使用$R$上的分配律即可得$\phi_1(r)\phi_2(r)+\phi_1(r)\phi_3(r)=(\phi_1\phi_2)(r)+(\phi_1\phi_3)(r)$。这说明分配率成立。

所以这样一套映射，也满足环的结构。