向量空间
向量空间
这章主要进入交换代数部分。第一章是向量空间，这个是线性代数中耳熟能详的结构。关于这一部分，这里不准备过多叙述。
向量空间的细节可以参考各种线性代数教材。虽线性代数教材各有侧重，有的关注解方程，本征值等等应用层面，但较深入的教材都会涉及该章节中抽象代数的部分。同时也会跟详细的介绍向量空间中的各种特性。例如跟抽象代数概念中对应的核的概念，以及核空间的特性。本征值所对应的效果等等。
所以这里只是简述一下，不做任何记录了。
定义 33.1
设$F$为一个域。$F$上的向量空间(vector space)的构成如下： 一个加法交换群$V$，$F$的元素与$V$的元素通过左乘得到的数量乘法，使得所有$a,b\in F$和$\alpha,\beta \in V$满足以下条件：
- $\mathscr{V}_1.a\alpha \in V$
- $\mathscr{V}_2.a(b\alpha) =(ab)\alpha$
- $\mathscr{V}_3.(a+b)\alpha =(a\alpha)+(b\alpha)$
- $\mathscr{V}_4.a(\alpha+\beta) =(a\alpha)+(a\beta)$
- $\mathscr{V}_5.1\alpha =\alpha$
向量空间基本定义。基于向量空间的各种定理不在叙述。
对于抽象代数后面来说最重要的是以下例子。
设$F$是域$E$的子域，那么$E$可以视为$F$上的一个向量空间，即$E$相当于向量空间中的$V$。其中
- 向量的加法，即$E$中的加法
- 数量乘法$a\alpha$，即$a\in F$和$\alpha \in E$在域$E$中的乘法。
由域的公理，可以得出向量空间成立。
现在稍微看一下域上商环组成的向量空间。这一部分在扩域中也有描述。
设$F$是域,$p(x)\in F[x]$是$F$上的$n\ge 1$次不可约多项式。由前面章节定理31.9和定理31.25可以知道商环
$$E=F[x]/\lang p(x)\rang$$是一个域。通过用$a+\lang p(x)\rang\in E$标记$a\in F$中的元素。可以发现$F$与$E$中一个子域同构。同时$x+p(x)\in E$不在这个子域里面。所以$E$是$F$的扩域。进而$E$可以视为$F$上的向量空间。
现在考察$E$中元素
$$\alpha_j=x^j+\lang p(x)\rang,0\le j\le n-1$$可以说明其线性无关。
因为如果存在$a_i\in F$满足
$$a_0\alpha_0+a_1\alpha_1+\cdots+a_{n-1}\alpha_{n-1}=0\in F[x]/\lang p(x)\rang$$这说明
$$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\in\lang p(x)\rang$$可是$p(x)$为$n$次不可约多项式。这说明所有系数都为$0$。于是向量构成线性无关集合。另一方面给定任意多项式$f(x)\in F[x]$，由带余除法可得存在某个多项式$g(x)$使得$f(x)+\lang p(x)\rang = g(x)+\lang p(x)\rang$，其中$g(x)=0$或者$g(x)$的次数小于$n$。所以可以被线性无关集合$\alpha_j$表示。因此向量
$$\alpha_0,\alpha_1,\cdots\alpha_{n-1}$$张成$E$。因此构成$E$的一组基。